Número complejo: Definición, Valor absoluto o módulo, argumento y conjugado

 Se define cada número complejo z como un par ordenado de números reales: z = (a, b). A su vez el primer elemento a se define como parte real de z, se denota ; el segundo elemento b se define como parte imaginaria de z, se denota . Luego en el conjunto ℂ de los números complejos, se definen tres operaciones y la relación de igualdad:

• Igualdad

${\displaystyle (a,b)=(c,d)\iff a=c\land b=d}$

Al número ${\displaystyle (a,0)}$ se denomina número complejo real y como entre el conjunto de estos y el conjunto ℝ de los números reales se establece un isomorfismo , se asume que todo número real es un número complejo. Al número complejo ${\displaystyle (0,b)}$ se denomina número imaginario puro. Puesto que ${\displaystyle (a,0)+(0,b)=(a,b)}$ se dice que un número complejo es la suma de un número real con un número imaginario puro.¹⁰​

Operaciones racionales

• Adición

${\displaystyle (a,b)+(c,d)=(a+c,\,b+d)}$

• Producto por escalar

${\displaystyle r(a,b)=(ra,\,rb)}$

• Multiplicación

${\displaystyle (a,b)\cdot (c,d)=(ac-bd,ad+bc)}$

A partir de estas operaciones podemos deducir otras como las siguientes:

• Resta

${\displaystyle (a,b)-(c,d)=(a-c,\,b-d)}$

• División

${\displaystyle {\frac {(a,b)}{(c,d)}}={(ac+bd,\,bc-ad) \over c^{2}+d^{2}}=\left({ac+bd \over c^{2}+d^{2}},{bc-ad \over c^{2}+d^{2}}\right)}$

Unidad imaginaria

Se define un número complejo especial, sobre todo en el álgebra, de suma relevancia, el número i ( j en física), llamado unidad imaginaria, definido como

${\displaystyle \mathrm {i} =(0,1)\,\!}$

Que satisface la siguiente igualdad:

${\displaystyle \mathrm {i} ^{2}=\mathrm {i} \cdot \mathrm {i} =(0,1)\cdot (0,1)=(-1,0)=-1}$

Tomando en cuenta que ${\displaystyle (a,0)\cdot (0,1)=(0,a)}$, cabe la identificación

${\displaystyle (a,0)\cdot (0,1)=a\mathrm {i} =(0,a)}$

• En textos elementales se define que i ² es igual a -1. Además es una de las raíces de la ecuación x ² + 1 = 0. ¹¹​

Valor absoluto o módulo, argumento y conjugado

Valor absoluto o módulo de un número complejo

La fórmula de Euler ilustrada en el plano complejo.

El valor absoluto, módulo o magnitud de un número complejo z viene dado por la siguiente expresión:

${\displaystyle |z|={\sqrt {zz^{*}}}={\sqrt {{\hbox{Re}}^{2}(z)+{\hbox{Im}}^{2}(z)}}}$

Si pensamos en las coordenadas cartesianas del número complejo z como algún punto en el plano; podemos ver, por el teorema de Pitágoras, que el valor absoluto de un número complejo coincide con la distancia euclídea desde el origen del plano a dicho punto.

Si el complejo está escrito en forma exponencial z = r e^iφ, entonces |z| = r. Se puede expresar en forma trigonométrica como z = r (cosφ + isenφ), donde cosφ + isenφ = e^iφ es la conocida fórmula de Euler.

Podemos comprobar con facilidad estas cuatro importantes propiedades del valor absoluto

${\displaystyle \left|z\right|=0\Longleftrightarrow z=0}$

${\displaystyle \left|z+w\right|\leq |z|+|w|}$

${\displaystyle \left|zw\right|=|z||w|}$

${\displaystyle \left|z-w\right|\geq ||z|-|w||}$

para cualquier complejo z y w.

Por definición, la función distancia queda como sigue d(z, w) = |z - w| y nos provee de un espacio métrico con los complejos gracias al que se puede hablar de límites y continuidad. La suma, la resta, la multiplicación y la división de complejos son operaciones continuas. Si no se dice lo contrario, se asume que ésta es la métrica usada en los números complejos.

Argumento o fase

El argumento principal o fase de un número complejo genérico ${\displaystyle z=x+yi\,}$ (siendo x=Re(z) e y=Im(z)) es el ángulo ${\displaystyle \phi }$ que forman el eje de abscisas OX y el vector OM, con M(x,y). Viene dado por la siguiente expresión:

${\displaystyle \phi =\operatorname {Arg} (z)=\operatorname {atan2} (y,x)}$

donde atan2(y,x) es la función arcotangente definida para los cuatro cuadrantes:

${\displaystyle \operatorname {atan2} (y,x)={\begin{cases}\arctan \left({\frac {y}{x}}\right)&\qquad x>0\\\arctan \left({\frac {y}{x}}\right)+\pi &\qquad y\geq 0,x<0\\\arctan \left({\frac {y}{x}}\right)-\pi &\qquad y<0,x<0\\+{\frac {\pi }{2}}&\qquad y>0,x=0\\-{\frac {\pi }{2}}&\qquad y<0,x=0\\{\text{indefinido}}&\qquad y=0,x=0\end{cases}}}$

O también: ${\displaystyle \operatorname {atan2} (y,x)={\frac {\pi }{2}}\operatorname {sgn}(y)-\arctan \left({\frac {x}{y}}\right)\quad \forall x,y\in \mathbb {R} }$ Siendo:

${\displaystyle \operatorname {sgn}(y)={\begin{cases}1\qquad y\geq 0\\-1\qquad y<0\\\end{cases}}}$¹²​

la función signo.

El argumento tiene periodicidad 2π, con lo que ${\displaystyle \arg z=\operatorname {arg} z+2k\pi }$ siendo ${\displaystyle k}$ cualquier número entero. El ángulo Arg z es el valor principal de arg z que verifica las condiciones -π < Arg z <= π descritas antes.¹³​

Conjugado de un número complejo

Dos binomios se llaman conjugados si solo difieren en su signo central. De esta manera, el conjugado de un complejo z (denotado como ${\displaystyle {\bar {z}}}$ o ${\displaystyle z^{*}\,\!}$) es un nuevo número complejo, definido así:

${\displaystyle {\bar {z}}=a-b\mathrm {i} \Longleftrightarrow z=a+b\mathrm {i} }$

Se observa que ambos difieren en el signo de la parte imaginaria. Con este número se cumplen las propiedades:

${\displaystyle {\overline {z+w}}={\bar {z}}+{\bar {w}}}$

${\displaystyle z+{\overline {z}}=2\cdot {\hbox{Re}}(z)}$

${\displaystyle z-{\overline {z}}=2i\cdot {\hbox{Im}}(z)}$

${\displaystyle {\overline {zw}}={\bar {z}}{\bar {w}}}$

${\displaystyle z\in \mathbb {R} \Longleftrightarrow {\bar {z}}=z}$

${\displaystyle |z|^{2}=z{\bar {z}}\geq 0}$

${\displaystyle z\neq 0\Rightarrow {\frac {1}{z}}={\frac {\bar {z}}{|z|^{2}}}}$

Esta última fórmula es el método elegido para calcular el inverso de un número complejo si viene dado en coordenadas rectangulares.

Representaciones

Representación binómica

Un número complejo representado como un punto (en rojo) y un vector de posición (azul) en un diagrama de Argand; ${\displaystyle a+bi}$ es la expresión binomial del punto.

Un número complejo se representa en forma binomial como:

${\displaystyle z=a+bi\,}$

La parte real del número complejo y la parte imaginaria, se pueden expresar de varias maneras, como se muestra a continuación:

${\displaystyle a={\hbox{Re}}(z)=\Re (z)}$

${\displaystyle b={\hbox{Im}}(z)=\Im (z)}$

Representación polar

El argumento φ y módulo r localizan un punto en un diagrama de Argand; ${\displaystyle r(\cos \phi +i\sin \phi )}$ o ${\displaystyle re^{i\phi }}$ es la expresión polar del punto.

En esta representación, ${\displaystyle \textstyle {r}}$ es el módulo del número complejo y el ángulo ${\displaystyle \textstyle {\phi }}$ es el argumento del número complejo.

${\displaystyle \textstyle {\phi }=\arctan \left({\frac {b}{a}}\right)=\arctan \left({\frac {{\hbox{Im}}(z)}{{\hbox{Re}}(z)}}\right)=-\arctan \left(-{\frac {{\hbox{Im}}(z)}{{\hbox{Re}}(z)}}\right)}$

${\displaystyle \cos \phi ={\frac {a}{r}}\ ,\ \sin \phi ={\frac {b}{r}}}$

Despejándose a y b en las expresiones anteriores y, utilizando la representación binomial, resulta:

${\displaystyle z=a+\mathrm {i} b;\;z=r\cos {\phi }+\mathrm {i} r\operatorname {sen} {\phi }}$

Sacando factor común r:

${\displaystyle z=r\left(\cos {\phi }+\mathrm {i} \sin {\phi }\right)}$

Frecuentemente, esta expresión se abrevia convenientemente de la siguiente manera:

${\displaystyle \ z=r\;\operatorname {cis} \;{\phi }}$

la cual solo contiene las abreviaturas de las razones trigonométricas coseno, la unidad imaginaria y la razón seno del argumento respectivamente.

Según esta expresión, puede observarse que para definir un número complejo tanto de esta forma como con la representación binomial se requieren dos parámetros, que pueden ser parte real e imaginaria o bien módulo y argumento, respectivamente.

Según la Fórmula de Euler:

${\displaystyle \cos {\phi }+i\operatorname {sen} {\phi }=e^{\mathrm {i} \phi };\;z=re^{i\phi }}$

No obstante, el ángulo ${\displaystyle \phi }$ no está unívocamente determinado por z, pues pueden existir infinitos números complejos que tienen el mismo valor representado en el plano, que se diferencian por el número de revoluciones, ya sean de sentido antihorario (positivas) u horario (negativas) las cuales se representan por números enteros ${\displaystyle k\in \mathbb {Z} }$, como implica la fórmula de Euler:

${\displaystyle \forall {k}{\in }\mathbb {Z} \quad z=re^{\mathrm {i} (\phi +2\pi {}k)}}$

Por esto, generalmente ${\displaystyle \phi }$ está restringido al intervalo [-π, π) y a éste ${\displaystyle \phi }$ restringido se le llama argumento principal de z y se denota φ=Arg(z). Con este convenio, las coordenadas están unívocamente determinadas por z.

Operaciones en forma polar

La multiplicación de números complejos es especialmente sencilla con la notación polar:

${\displaystyle z_{1}z_{2}=rse^{\mathrm {i} (\phi +\psi )}\Leftrightarrow z_{1}z_{2}=re^{\mathrm {i} \phi }se^{\mathrm {i} \psi }}$

División:

${\displaystyle {\frac {z_{1}}{z_{2}}}={\frac {r}{s}}e^{\mathrm {i} (\phi -\psi )}}$

Potenciación:

${\displaystyle z^{n}=r^{n}e^{\mathrm {i} \phi n}\Leftrightarrow z^{n}=\left(re^{i\phi }\right)^{n}}$

${\displaystyle z^{n}=(a+b\mathrm {i} )^{n}={n \choose 0}a^{n}+{n \choose 1}a^{n-1}b\mathrm {i} +{n \choose 2}a^{n-2}\left(b\mathrm {i} \right)^{2}+\ldots +{n \choose {n-1}}a\left(b\mathrm {i} \right)^{n-1}+{n \choose n}\left(b\mathrm {i} \right)^{n}}$

Raíz enésima de un número complejo

Raíz cuadrada

Dado el número complejo z diremos ${\displaystyle {\sqrt {z}}=\{w_{1},w_{2}\}}$ y se cumple que ${\displaystyle z=w_{i}^{2},\,i=1,2}$

Ejemplo ${\displaystyle {\sqrt {i}}=\{cos{\frac {\pi }{4}}+sen{\frac {\pi }{4}},\,cos{\frac {3\pi }{4}}+sen{\frac {3\pi }{4}}\}}$

Representación en forma de matrices de orden 2

En el anillo de las matrices de segundo orden sobre el campo de números reales, se puede hallar un subconjunto que es isomorfo al cuerpo de los números complejos. Pues, se establece una correspondencia entre cada número complejo a+bi con la matriz

${\displaystyle {\begin{pmatrix}a&-b\\b&a\\\end{pmatrix}}.}$

De tal manera se obtiene una correspondencia biunívoca. La suma y el producto de dos de esta matrices tiene de nuevo esta forma, y la suma y producto de números complejos corresponde a la suma y producto de tales matrices. En particular la matriz ${\displaystyle {\bigl (}{\begin{smallmatrix}0&-1\\1&0\end{smallmatrix}}{\bigr )}}$ cumple el rol de unidad imaginaria.¹⁴​

Plano de los números complejos o Diagrama de Argand

El concepto de plano complejo permite interpretar geométricamente los números complejos. La suma de números complejos se puede relacionar con la suma con vectores, y la multiplicación de números complejos puede expresarse simplemente usando coordenadas polares, donde la magnitud del producto es el producto de las magnitudes de los términos, y el ángulo contado desde el eje real del producto es la suma de los ángulos de los términos pudiendo ser vista como la transformación del vector que rota y cambia su tamaño simultáneamente.

Multiplicar cualquier complejo por i corresponde con una rotación de 90º en dirección contraria a las agujas del reloj. Asimismo el que (-1)·(-1)=+1 puede ser entendido geométricamente como la combinación de dos rotaciones de 180º (i al cuadrado = -1), dando como resultado un cambio de signo al completar una vuelta.

Los diagramas de Argand se usan frecuentemente para mostrar las posiciones de los polos y los ceros de una función en el plano complejo.

El análisis complejo, la teoría de las funciones complejas, es una de las áreas más ricas de la matemática, que encuentra aplicación en muchas otras áreas de la matemática así como en física, electrónica y muchos otros campos.

Propiedades

Cuerpo de los números complejos

El conjunto ℂ de los números complejos satisface las leyes de la axiomática que define un cuerpo:

• Propiedad conmutativa: z+w = w+z; zw= wz.
• Propiedad asociativa: v+(w+z)= (v+w)+ z; v(wz)= (vw)z
• Propiedad distributiva: v(w+z) = vw+vz; (w+z)v = wv+zv
• Existencia de identidades:

La identidad aditiva, el cero: z+ 0 = 0+z = z; la identidad multiplicativa, el 1: ${\displaystyle z\cdot 1=1\cdot z=z}$

• Inversos: cada número complejo tiene su inverso aditivo -z tal que z +(-z) = 0 y cada número complejo, distinto de cero, tiene su inverso multiplicativo z^-1, tal que z·z^-1 = 1.¹⁵​

Si identificamos el número real a con el complejo (a, 0), el cuerpo de los números reales R aparece como un subcuerpo de C. Más aún, C forma un espacio vectorial de dimensión 2 sobre los reales. Los complejos no pueden ser ordenados como, por ejemplo, los números reales, por lo que C no puede ser convertido de ninguna manera en un cuerpo ordenado.

Espacio vectorial[editar]

El conjunto ℂ con la adición de números complejos y considerando como escalares los números reales, se puede definir ℂ como un espacio vectorial. Esto es:

1. Si z,w son números complejos, entonces z+w es un número complejo. Esta operación interna define una estructura de grupo aditivo.
2. Si r es número real y z es un número complejo, entonces rz, llamado múltiplo escalar de z, es también un número complejo. Las dos operaciones satisfacen la axiomática de un espacio vectorial o lineal.¹⁶​

Aplicaciones

En matemáticas

Soluciones de ecuaciones polinómicas

Una raíz o un cero¹⁷​ del polinomio p es un complejo z tal que p(z)=0. Un resultado importante de esta definición es que todas las ecuaciones polinómicas (algebraicas) de grado n tienen exactamente n soluciones en el cuerpo de los números complejos, esto es, tiene exactamente n complejos z que cumplen la igualdad p(z)=0, contados con sus respectivas multiplicidades. A esto se lo conoce como Teorema Fundamental del Álgebra, y demuestra que los complejos son un cuerpo algebraicamente cerrado; por esto los matemáticos consideran a los números complejos unos números más naturales^{[cita requerida]} que los números reales a la hora de resolver ecuaciones.

También se cumple que si z es una raíz de un polinomio p con coeficientes reales, entonces el complejo conjugado de z también es una raíz de p.

Variable compleja o análisis complejo

Al estudio de las funciones de variable compleja se lo conoce como el Análisis complejo. Tiene una gran cantidad de usos como herramienta de matemáticas aplicadas así como en otras ramas de las matemáticas. El análisis complejo provee algunas importantes herramientas para la demostración de teoremas incluso en teoría de números; mientras que las funciones reales de variable real, necesitan de un plano cartesiano para ser representadas; las funciones de variable compleja necesitan un espacio de cuatro dimensiones, lo que las hace especialmente difíciles de representar. Se suelen utilizar ilustraciones coloreadas en un espacio de tres dimensiones para sugerir la cuarta coordenada o animaciones en 3D para representar las cuatro.

Ecuaciones diferenciales

En ecuaciones diferenciales, cuando se estudian las soluciones de las ecuaciones diferenciales lineales con coeficientes constantes, es habitual encontrar primero las raíces (en general complejas) ${\displaystyle \lambda \,}$ del polinomio característico, lo que permite expresar la solución general del sistema en términos de funciones de base de la forma: ${\displaystyle f(x)=e^{\lambda x}\,}$.

Fractales

Muchos objetos fractales, como el conjunto de Mandelbrot, pueden obtenerse a partir de propiedades de convergencia de una sucesión de números complejos. El análisis del dominio de convergencia revela que dichos conjuntos pueden tener una enorme complejidad autosimilar.

En física

Los números complejos se usan en ingeniería electrónica y en otros campos para una descripción adecuada de las señales periódicas variables (ver Análisis de Fourier). En una expresión del tipo ${\displaystyle z=re^{i\phi }\,}$ podemos pensar en ${\displaystyle r\,}$ como la amplitud y en ${\displaystyle \phi \,}$ como la fase de una onda sinusoidal de una frecuencia dada. Cuando representamos una corriente o un voltaje de corriente alterna (y por tanto con comportamiento sinusoidal) como la parte real de una función de variable compleja de la forma ${\displaystyle f(t)=ze^{i\omega t}\,}$ donde ω representa la frecuencia angular y el número complejo z nos da la fase y la amplitud, el tratamiento de todas las fórmulas que rigen las resistencias, capacidades e inductores pueden ser unificadas introduciendo resistencias imaginarias para las dos últimas (ver redes eléctricas). Ingenieros eléctricos y físicos usan la letra j para la unidad imaginaria en vez de i que está típicamente destinada a la intensidad de corriente.

El campo complejo es igualmente importante en mecánica cuántica cuya matemática subyacente utiliza Espacios de Hilbert de dimensión infinita sobre C (ℂ).^{[cita requerida]}

En la relatividad especial y la relatividad general, algunas fórmulas para la métrica del espacio-tiempo son mucho más simples si tomamos el tiempo como una variable imaginaria.^{[cita requerida]}

Generalizaciones

• Los números complejos pueden generalizarse dando lugar a los números hipercomplejos. El cuerpo de los números complejos es un subcuerpo conmutativo del álgebra cuaterniónica ${\displaystyle \scriptstyle \mathbb {H} }$, que a su vez es una subálgebra de otras álgebras más extensas (octoniones, sedeniones):

${\displaystyle \mathbb {C} \subset \mathbb {H} \subset \mathbb {O} \subset \mathbb {S} }$

• Otra posible generalización es considerar la complejificación de los números hiperreales:

${\displaystyle \mathbb {C} \subset {}^{*}\mathbb {R} (i)}$

Véase también

• Plano de Argand
• Conjunto de Mandelbrot
• Conjunto de Julia

Clasificación de números Complejos ${\displaystyle :\;\mathbb {C} }$ Reales ${\displaystyle :\;\mathbb {R} }$ Racionales ${\displaystyle :\;\mathbb {Q} }$ Enteros ${\displaystyle :\;\mathbb {Z} }$ Naturales ${\displaystyle :\;\mathbb {N} }$ uno: 1 Naturales primos Naturales compuestos Cero: 0 Enteros negativos Fraccionarios Exactos Periódicos Puros Mixtos Irracionales Irracionales algebraicos Trascendentes Imaginarios

Notas

1. ↑ En notación moderna, la solución de Tartaglia está basada en expandir el cubo de la suma de dos raíces cúbicas: ${\displaystyle \left({\sqrt[{3}]{u}}+{\sqrt[{3}]{v}}\right)^{3}=3{\sqrt[{3}]{uv}}\left({\sqrt[{3}]{u}}+{\sqrt[{3}]{v}}\right)+u+v}$. Con ${\displaystyle x={\sqrt[{3}]{u}}+{\sqrt[{3}]{v}}}$, ${\displaystyle p=3{\sqrt[{3}]{uv}}}$, ${\displaystyle q=u+v}$, u y v se pueden expresar en términos de p y q como ${\displaystyle u=q/2+{\sqrt {(q/2)^{2}-(p/3)^{3}}}}$ y ${\displaystyle v=q/2-{\sqrt {(q/2)^{2}-(p/3)^{3}}}}$, respectivamente. Por lo tanto, ${\displaystyle x={\sqrt[{3}]{q/2+{\sqrt {(q/2)^{2}-(p/3)^{3}}}}}+{\sqrt[{3}]{q/2-{\sqrt {(q/2)^{2}-(p/3)^{3}}}}}}$. Cuando ${\displaystyle (q/2)^{2}-(p/3)^{3}}$ es negativo (casus irreducibilis), la segunda raíz cúbica debe considerarse como el conjugado complejo de la primera.