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 El espacio-tiempo es el modelo matemático que combina el espacio y el tiempo en un único continuo como dos conceptos inseparablemente relacionados. En este continuo espacio-temporal se representan todos los sucesos físicos del Universo, de acuerdo con la teoría de la relatividad y otras teorías físicas. La expresión espacio-tiempo ha devenido de uso corriente a partir de la teoría de la relatividad especial formulada por Einstein en 1905, siendo esta concepción del espacio y el tiempo uno de los avances más importantes del siglo XX en el campo de la física.

De acuerdo con las teorías de la relatividad de Einstein, el tiempo no puede estar separado de las tres dimensiones espaciales, sino que al igual que ellas, este depende del estado de movimiento del observador. En esencia, dos observadores medirán tiempos diferentes para el intervalo entre dos sucesos, la diferencia entre los tiempos medidos depende de la velocidad relativa entre los observadores. Si además existe un campo gravitatorio también dependerá la diferencia de intensidades de dicho campo gravitatorio para los dos observadores. El trabajo de Minkowski probó la utilidad de considerar el tiempo como un ente matemático único y continuo que se puede entender desde una perspectiva pseudoeuclidiana, la cual considera al Universo como un "espacio de cuatro dimensiones" formado por tres dimensiones espaciales físicas observables y por una "cuarta dimensión" temporal (más exactamente una variedad lorentziana de cuatro dimensiones). Un caso simple es el espacio-tiempo usado en relatividad especial, donde al combinar espacio y tiempo en un espacio tetradimensional, se obtiene el espacio-tiempo de Minkowski.

Introducción

En general, un suceso específico puede ser descrito por una o más coordenadas espaciales y una temporal. Por ejemplo, para identificar de manera única un accidente automovilístico, se pueden dar el punto kilométrico donde ocurrió (una coordenada espacial), y cuándo ocurrió (una coordenada temporal). En el espacio tridimensional, se requieren tres coordenadas espaciales. Así un modelo simple de espacio tiempo es el espacio-tiempo de Minkowski:

${\displaystyle {\mathcal {M}}=\{(t,x,y,z)|(t,x,y,z)\in \mathbb {R} ^{4}\}}$

donde t es la coordenada temporal medida por un cierto observador, y x, y, z las coordenadas cartesianas espaciales medidas por el mismo observador.

En la visión tradicional en la cual se basa la mecánica clásica, cuyos principios fundamentales fueron establecidos por Newton, es que el tiempo es una coordenada independiente de las coordenadas espaciales y es una magnitud idéntica para cualquier observador. Esto difiere del tratamiento de Minkowski donde las coordenadas medidas por otro observador diferente ${\displaystyle (t',x',y',z')}$ difieren de las medidas por el primer observador ${\displaystyle (t,x,y,z)}$ de una manera tal que en general ${\displaystyle t\neq t'}$ (la transformación que permite relacionar las coordenadas de dos observadores diferentes en el espacio de Minkowski se llaman transformaciones de Lorentz).

La incorrección de la mecánica newtoniana, especialmente visible a velocidades comparables con la velocidad de la luz, fueron establecidas detectadas tanto en resultados como el experimento de Michelson y Morley, como en las ecuaciones de Maxwell para la electrodinámica, sugerían, a principios del siglo XX, que la velocidad de la luz es constante, independiente de la velocidad del emisor u observador, en contradicción con lo postulado por la mecánica clásica. La constancia de la velocidad de la luz es una consecuencia del carácter relativo de la distancia y el tiempo, de tal manera que dos observadores medirán tiempos diferentes entre dos eventos si uno está moviéndose respecto al otro (usualmente esa diferencia es muy pequeña, imperceptible con medios convencionales, pero detectable mediante relojes atómicos de alta precisión).

Einstein propuso como solución a este y otros problemas de la mecánica clásica considerar como postulado la constancia de la velocidad de la luz, y prescindir de la noción del tiempo como una coordenada independiente del observador. En la Teoría de la Relatividad, espacio y tiempo tienen carácter relativo o convencional, dependiendo del estado de movimiento del observador. Eso se refleja por ejemplo en que las transformaciones de coordenadas entre observadores inerciales (las Transformaciones de Lorentz), involucran una combinación de las coordenadas espaciales y temporal. El mismo hecho se refleja en la medición de un campo electromagnético, que está formado por una parte eléctrica y otra parte magnética, pues dependiendo del estado de movimiento del observador el campo electromagnético es visto de diferente manera entre su parte magnética y eléctrica por diferentes observadores en movimiento relativo.

La expresión espacio-tiempo recoge entonces la noción de que el espacio y el tiempo ya no pueden ser consideradas entidades independientes o absolutas.

Las consecuencias de esta relatividad del tiempo han tenido diversas comprobaciones experimentales. Una de ellas se realizó utilizando dos relojes atómicos de elevada precisión, inicialmente sincronizados, uno de los cuales se mantuvo fijo mientras que el otro fue transportado en un avión. Al regresar del viaje se constató que mostraban una leve diferencia de 184 nanosegundos, habiendo transcurrido "el tiempo" más lentamente para el reloj en movimiento.¹​

Propiedades geométricas del espacio-tiempo

Métrica

En la teoría de la relatividad general el espacio-tiempo se modela como un par (M, g) donde M es una variedad diferenciable semiriemanniana también conocida banda lorentziana y g es un tensor métrico de signatura (3,1). Fijado un sistema de coordenadas (x⁰, x¹, x², x³, ) para una región del espacio-tiempo el tensor métrico se puede expresar como:

${\displaystyle g=\sum _{i,j=1}^{n}g_{ij}\ dx^{i}\otimes dx^{j}\,}$

Y para todo punto del espacio-tiempo existe un observador galileano tal que en ese punto el tensor métrico tiene las siguientes componentes:

${\displaystyle (g_{ij})_{i,j=0}^{3}={\begin{pmatrix}g_{00}&g_{01}&g_{02}&g_{03}\\g_{10}&g_{11}&g_{12}&g_{13}\\g_{20}&g_{21}&g_{22}&g_{23}\\g_{30}&g_{31}&g_{32}&g_{33}\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}-1&&&\\&+1&&\\&&+1&\\&&&+1\end{pmatrix}}}$

En ausencia de campo gravitatorio existe un sistema de coordenadas tal que el tensor tiene la forma anterior para todos los puntos del espacio tiempo simultáneamente. Pero si existe un campo gravitatorio eso no es posible y fijado cualquier sistema de coordenadas natural el tensor inevitablemente diferirá de un punto a otro, y el tensor de curvatura asociado a la métrica será no nulo, lo cual es percibido como un campo gravitatorio por el observador.

Contenido material del espacio-tiempo

El contenido material de dicho universo viene dado por el tensor energía-impulso que puede ser calculado directamente a partir de magnitudes geométricas derivadas del tensor métrico. Las ecuaciones escritas componente a componente relacionan el tensor energía impulso con el tensor de curvatura de Ricci y las componentes del propio tensor métrico:

${\displaystyle T_{ik}={\frac {c^{4}}{8\pi G}}\left[R_{ik}-\left({\frac {g_{ik}R}{2}}\right)+\Lambda g_{ik}\right]}$

La ecuación anterior expresa que el contenido material determina la curvatura del espacio-tiempo.

Movimiento de las partículas

El espacio-tiempo es el modelo matemático que combina el espacio y el tiempo en un único continuo como dos conceptos inseparablemente relacionados²​. En este continuo espacio-temporal se representan todos los sucesos físicos del Universo, de acuerdo con la teoría de la relatividad y otras teorías físicas. La expresión espacio-tiempo ha devenido de uso corriente a partir de la teoría de la relatividad especial formulada por Einstein en 1905, siendo esta concepción del espacio y el tiempo uno de los avances más importantes del siglo XX en el campo de la física.

De acuerdo con las teorías de la relatividad de Einstein, el tiempo no puede estar separado de las tres dimensiones espaciales, sino que al igual que ellas, este depende del estado de movimiento del observador. En esencia, dos observadores medirán tiempos diferentes para el intervalo entre dos sucesos, la diferencia entre los tiempos medidos depende de la velocidad relativa entre los observadores. Si además existe un campo gravitatorio también dependerá la diferencia de intensidades de dicho campo gravitatorio para los dos observadores. El trabajo de Minkowski probó la utilidad de considerar el tiempo como un ente matemático único y continuo se puede entender desde una perspectiva pseudoeuclidiana, la cual considera al Universo como un "espacio de cuatro dimensiones" formado por tres dimensiones espaciales físicas observables y por una "cuarta dimensión" temporal (más exactamente una variedad lorentziana de cuatro dimensiones). Un caso simple es el espacio-tiempo usado en relatividad especial, donde al combinar espacio y tiempo en un espacio tetradimensional, se obtiene el espacio-tiempo de Minkowski.

${\displaystyle {\frac {d^{2}x^{\mu }}{dt^{2}}}+\sum _{\sigma ,\nu }\Gamma _{\sigma \nu }^{\mu }{\frac {dx^{\sigma }}{dt}}{\frac {dx^{\nu }}{dt}}=0}$

Donde los símbolos de Christoffel Γ se calculan a partir de las derivadas del tensor métrico g y el tensor inverso del tensor métrico:

${\displaystyle \Gamma _{k,ij}:=\left({\frac {\partial g_{kj}}{\partial x^{i}}}+{\frac {\partial g_{ik}}{\partial x^{j}}}-{\frac {\partial g_{ij}}{\partial x^{k}}}\right)\qquad \qquad \Gamma _{ij}^{k}:=\sum _{p=1}^{n}g^{kp}\Gamma _{p,ij}}$

${\displaystyle g^{ik}g_{kj}=g_{jk}g^{ki}=\delta _{j}^{i}}$

Si además existiese alguna fuerza debida a la acción del campo electromagnético, la trayectoria de la partícula vendría dada por:

${\displaystyle {\frac {d^{2}x^{\mu }}{d\tau ^{2}}}+\sum _{\sigma ,\nu }\Gamma _{\sigma \nu }^{\mu }{\frac {dx^{\sigma }}{d\tau }}{\frac {dx^{\nu }}{d\tau }}=eF_{\rho }^{\mu }{\frac {dx^{\rho }}{d\tau }}}$

Donde:
${\displaystyle e\qquad :\qquad \,}$ carga eléctrica de la partícula.
${\displaystyle F_{\rho }^{\mu }\qquad :\qquad }$ el tensor de campo electromagnético:

${\displaystyle \tau =t{\sqrt {1-v^{2}/c^{2}}}\qquad :\,}$el tiempo propio de la partícula.

• Intervalo, principio de invarianza del intervalo

Homogeneidad, isotropía y grupos de simetrías

Ciertos espacios-tiempo admiten grupos isometría no triviales. Por ejemplo el espacio-tiempo de Minkowski, usado en la relatividad especial, tiene un grupo de isometría llamado grupo de Poincaré que es un grupo de Lie de dimensión diez. Normalmente los espacios-tiempo tienen grupos de isometría mucho menores, es decir, de dimensionalidad menor.

Una propiedad interesante es que si un espacio-tiempo admite un grupo de isometrías continuo, formado por un grupo de Lie de dimensión n entonces existen n campos vectoriales, llamados campo vectorial de Killing ${\displaystyle X^{(a)}}$ que satisfacen las siguientes propiedades:

${\displaystyle \nabla _{\alpha }X_{\beta }^{(a)}+\nabla _{\beta }X_{\alpha }^{(a)}=0\qquad \qquad {\mathcal {L}}_{X^{(a)}}g_{\alpha \beta }}$

Donde ${\displaystyle \nabla _{\alpha }}$ representa la derivada covariante y ${\displaystyle {\mathcal {L}}_{X^{(a)}}}$ la derivada de Lie según uno de esos vectores de Killing.

Relacionado con lo anterior están las relaciones de isotropía y homogeneidad. Un espacio tiempo presenta isotropía general en alguno de sus puntos si existe un subgrupo de su grupo de isometría, que es homeomorfo a SO(3) y deja invariante dicho punto. Otra propiedad interesante es cuando el grupo de simetría incluye un subgrupo homeomorfo a ${\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}$ que afecta a las coordenadas espaciales, en ese caso el espacio-tiempo resulta ser homogéneo.

Topología

La topología es el espacio tiempo tiene que ver con la estructura causal del mismo. Por ejemplo es interesante conocer SI en un espacio-tiempo:

• Existe la curva temporal cerrada; ese tipo de ocurrencia permitiría que a una partícula pueda influir en su propio pasado. Algunas soluciones exactas de las ecuaciones de Einstein como el Universo de Gödel, que describe un universo lleno de un fluido perfecto en rotación, permiten dichas curvas temporales cerradas (véase curva cerrada de tipo tiempo).
• Existen hipersuperficies de Cauchy, lo cual permite, en principio, conocido el estado del sistema sobre una de estas superficies, conocer el estado en un instante futuro. Siempre y cuando los efectos cuánticos tengan efectos limitados, la existencia de hipersuperficies comporta la evolución determinista.
• Existen geodésicas incompletas, lo cual está relacionado con la ocurrencia de singularidades espaciotemporales.

Ejemplos de diferentes clases de espacio-tiempo

El espacio-tiempo relativista de Minkowski

El espacio-tiempo de Minkowski es el caso más sencillo de espacio-tiempo relativista. Físicamente es un espacio de cuatro dimensiones plano, en que las líneas de curvatura mínima o geodésicas son líneas rectas. Por lo que una partícula sobre la que no actúe ninguna fuerza se moverá a lo largo de una de estas líneas rectas geodésicas. El espacio de Minkowski sirve de base para descripción de todos los fenómenos físicos según la descripción que de ellos da la teoría especial de la relatividad. Además cuando se consideran pequeñas regiones de un espacio-tiempo general, donde las variaciones de curvatura son pequeñas, se hace servir el modelo de espacio-tiempo de Minkowski para hacer algunos de los cálculos, sin que se cometan errores grandes.

Matemáticamente está formado por una variedad de cuatro dimensiones que es homeomorfa, es decir, identificable topológicamente con ${\displaystyle \mathbb {R} ^{4}}$. Sobre esta variedad se define una métrica pseudoriemanniana de signatura (1,3) que la convierte en un espacio pseudoeuclídeo de curvatura idénticamente nula. En esta variedad el de isometrias maximal coincide con el grupo de Poincaré.

El universo de Einstein: gravitación y geometría

La aproximación de Einstein al tema de la gravitación se apoya en varias intuiciones y en diversas sugerencias que se desprenden no solo de su propia construcción de la teoría de la relatividad especial sino de la forma en que la interpretaron otros físicos y muy en particular Minkowski.

¿Cuáles son estas intuiciones y sugerencias?

En primer lugar la constatación de que resulta imposible distinguir entre un sistema de referencia acelerado y un sistema de referencia sometida a una fuerza gravitacional. En segundo lugar que de esta indistinguibilidad, y de las consecuencias de todo tipo que ello comporta, se infiere la igualdad entre inercia y gravitación. En tercer lugar que, de acuerdo con su interpretación de las transformaciones de Lorentz, espacio y tiempo dejan de ser entidades separadas para aparecer interconectados. En cuarto lugar que esta interconexión obligará a abandonar, como escenario en el que los fenómenos físicos se despliegan, el espacio y el tiempo como entidades separadas para sustituirlos por una entidad única a la que se denominará espacio-tiempo. Cobran, así, toda su validez las palabras de Minkowski: "Las visiones del espacio y el tiempo que quiero presentarles han emergido del sustrato de la física experimental, y en ello reside su fuerza. Son radicales. A partir de ahora el espacio por sí mismo, y el tiempo por sí mismo están condenados a desaparecer como meras sombras y sólo una cierta unión de ambos preservará una realidad independiente". En quinto lugar que la gravitación afecta al espacio-tiempo de cada “lugar” y le dicta como curvarse. Por último que, al ser el movimiento bajo la acción de un campo gravitacional independiente de la masa del objeto móvil, es lícito pensar que ese movimiento viene ligado al “lugar” y que las trayectorias líneas geodésicas vienen marcadas por la estructura del tejido espacio-temporal en el que deslizan.[1]

La fuerza gravitacional acabaría, así, convirtiéndose en una manifestación de la curvatura del espacio-tiempo del que habla Minkowski. De ahí se deduce que en este esquema no hay acción a distancia ni misteriosas tendencias a moverse hacia extraños centros, tampoco espacios absolutos que contienen a, o tiempos absolutos que discurran al margen de, la materia.[2]

La masa le dice al espacio-tiempo como curvarse y este le dicta a la masa cómo moverse. Es el contenido material quien crea el espacio y el tiempo.

El espacio-tiempo curvo de la relatividad general

Un espacio-tiempo curvo es una variedad lorentziana cuyo tensor de curvatura de Ricci es relacionable es una solución de las ecuaciones de campo de Einstein para un tensor de energía-impulso físicamente razonable. Se conocen centenares de soluciones de ese tipo. Algunos de los ejemplos más conocidos, son los más interesantes físicamente y también son las primeras soluciones obtenidas, representan espacios-tiempo con un alto grado de simetría como:

• Espacio tiempo de Schwarszchild, que viene dado por la llamada métrica de Schwarzschild representa la forma del espacio tiempo alrededor de un cuerpo esférico, y puede ser una buena aproximación al campo solar de una estrella que gira muy lentamente alrededor de sí misma.
• Modelos de Big-Bang, que vienen dados en general por métricas de tipo Friedman-Lemaître-Robertson-Walker y que describen un universo en expansión, que según su densidad inicial puede llegar a recolapsar.

El espacio-tiempo de la física prerrelativista

El matemático Roger Penrose basándose en las propiedades básicas y supuestos teóricos de diversas teorías físicas prerrelativistas ha propuesto que para cada una de ellas puede definirse un marco geométrico adecuado que da cuenta de como se produce el movimiento de partículas según estas teorías.³​ Así tanto los supuestos habituales de la física aristotélica, como el principio de relatividad de Galileo implicarían implícitamente en sí mismos una determinada estructura geométrica para el conjunto de sucesos. Las estructuras que Penrose propone para estas diversas teorías prerrelativistas son:

• Espacio-tiempo de la física aristotélica, donde el supuesto de que tanto el tiempo como la velocidad son absolutos conduce a que los sucesos tienen estructura intuitiva de espacio producto ${\displaystyle \mathbb {E} ^{1}\times \mathbb {E} ^{3}}$.
• Espacio-tiempo galileano, aunque el tiempo sigue siendo absoluto en la física galileana se impone el principio de relatividad según el cual dos observadores que se mueven alejan uno de otro a velocidad uniforme no podrían determinar sin verse si se están alejando uno de otro. Penrose explica que esta característica puede representarse geométricamente de nuevo por un espacio-tiempo fibrado, aunque el principio de relatividad implica que la velocidad no es absoluta y, por tanto, no pueden identificarse simplemente los puntos de diferentes fibras. Es decir, el espacio-tiempo galileano, designado como ${\displaystyle {\mathcal {G}}}$ sería un fibrado no trivial ${\displaystyle {\mathcal {G}}=\mathbb {E} ^{1}\times \mathbb {E} ^{3}}$, donde el espacio base sería el espacio euclídeo ${\displaystyle \mathbb {E} ^{1}}$ que representa el tiempo y cada fibra es un espacio tridimensional convencional ${\displaystyle \mathbb {E} ^{3}}$.
• Espacio-tiempo newtoniano, en esta construcción propuesta originalmente por Élie Cartan a principios del siglo XX, el espacio-tiempo adecuado para describir la mecánica newtoniana incluyendo la descripción del campo gravitatorio, sigue siendo un fibrado no trivial con espacio base ${\displaystyle \mathbb {E} ^{1}}$ para representar el tiempo y fibra dada por un espacio euclídeo tridimensional. La diferencia está en que ahora algunas trayectorias curvas representan movimientos inerciales de acuerdo con el principio de equivalencia, y por tanto se requiere algún tipo de estructura diferenciable para decidir qué líneas curvas corresponden a esos movimientos inerciales. La conexión que define esta estructura diferenciable debe escogerse de tal manera que la traza del tensor de Ricci coincida con la constante ${\displaystyle 4\pi G\rho }$. Cuando el campo gravitatorio es constante entonces el espacio-tiempo Newtoniano es homeomorfo al espacio-tiempo galileano.

Generalizaciones

Hiperespacio

La teoría general de la relatividad introdujo una interpretación geométrica del fenómeno físico de la gravedad, introduciendo una nueva dimensión física temporal y considerando curvaturas que afectaban a esta y las demás dimensiones temporales.

Esta idea interesante ha sido utilizada en diversas teorías físicas prometedoras que han recurrido formalmente a la introducción de nuevas dimensiones formales para dar cuenta de fenómenos físicos. Así Kaluza y Klein trataron de crear una teoría unificada (clásica) de la gravedad y del electromagnetismo, introduciendo una dimensión adicional. En esta teoría la carga podía relacionarse con la quinta componente de la "pentavelocidad" de la partícula, y otra serie de cuestiones interesantes. El enfoque de varias teorías de supercuerdas es aún más ambicioso y se han empleado esquemas inspirados remotamente en las ideas de Einstein, Kaluza y Klein que llegan a emplear hasta diez y once dimensiones, de las cuales seis o siete estarían compactificadas y no serían detectables más que indirectamente.

Espacio-tiempo en civilizaciones antiguas

La cultura incaica no parece separar el espacio y el tiempo; el espacio-tiempo es llamado « pacha » en quechua et en aymara.⁴​ Según Catherine J. Allen, “La palabra quechua pacha puede referirse al cosmos entero o en un momento particular de su tiempo, su interpretación depende del contexto.” Pues escoge traducir pacha por "world-moment" (momento-mundo).⁵​

 El teorema fundamental del álgebra establece que todo polinomio de grado mayor que cero tiene una raíz.¹​ El dominio de la variable es el conjunto de los números complejos, que es una extensión²​ de los números reales.

Aunque este enunciado, en principio, parece ser una declaración débil, implica que todo polinomio de grado n de una variable con grado mayor que cero con coeficientes complejos tiene, contando las multiplicidades, exactamente n raíces complejas. La equivalencia de estos dos enunciados se realiza mediante la división polinómica sucesiva por factores lineales.

Hay muchas demostraciones de esta importante proposición, que requieren bastantes conocimientos matemáticos para formalizarlas.

Historia

Pedro Rothe (Petrus Roth), en su libro Arithmetica Philosophica (publicado en 1608), escribió que una ecuación polinómica de grado ${\displaystyle n}$ (con coeficientes reales) puede tener ${\displaystyle n}$ soluciones. Alberto Girardo, en su libro L'invention nouvelle en l'Algebre (publicado en 1629), aseveró que una ecuación de grado ${\displaystyle n}$ tiene ${\displaystyle n}$ soluciones, pero no menciona que dichas soluciones deban ser números reales. Más aún, él agrega que su aseveración es válida "salvo que la ecuación sea incompleta", con lo que quiere decir que ninguno de los coeficientes del polinomio sea igual a cero. Sin embargo, cuando explica en detalle a qué se está refiriendo, se hace evidente que el autor piensa que la aseveración siempre es cierta; en particular, muestra que la ecuación

${\displaystyle x^{4}=4\,x-3}$

a pesar de ser incompleta, tiene las siguientes cuatro soluciones (la raíz 1 tiene multiplicidad 2):

${\displaystyle 1,\quad 1,\quad -1+i\,{\sqrt {2}}\quad \mathrm {y} \quad -1-i\,{\sqrt {2}}.}$

Leibniz en 1702 y más tarde Nikolaus Bernoulli, conjeturaron lo contrario.

Como se mencionará de nuevo más adelante, se sigue del teorema fundamental del álgebra que todo polinomio con coeficientes reales y de grado mayor que cero se puede escribir como un producto de polinomios con coeficientes reales del cual sus grados son 1 o 2. De todas formas, en 1702 Leibniz dijo que ningún polinomio de tipo ${\displaystyle x^{4}+a^{4}}$ (con a real y distinto de 0) se puede escribir en tal manera. Luego, Nikolaus Bernoulli hizo la misma afirmación concerniente al polinomio ${\displaystyle x^{4}-4x^{3}+2x^{2}+4x+4}$, pero recibió una carta de Euler en 1742 en el que le decía que su polinomio pasaba a ser igual a:

${\displaystyle (x^{2}-(2+\alpha )x+1+{\sqrt {7}}+\alpha )(x^{2}-(2-\alpha )x+1+{\sqrt {7}}-\alpha )}$

con α igual a raíz cuadrada de 4 + 2√7. Igualmente mencionó que:

${\displaystyle x^{4}+a^{4}=(x^{2}+a{\sqrt {2}}x+a^{2})(x^{2}-a{\sqrt {2}}x+a^{2}).\,}$

El primer intento que se hizo para demostrar el teorema lo hizo d'Alembert en 1746. Su demostración tenía un fallo, en tanto que asumía implícitamente como cierto un teorema (actualmente conocido como el teorema de Puiseux) que no sería demostrado hasta un siglo más tarde. Entre otros Euler (1749), de Foncenex (1759), Lagrange (1772) y Laplace (1795) intentaron demostrar este teorema.

A finales del siglo XVIII, se presentaron dos nuevas pruebas, una por James Wood y otra por Gauss (1799), pero ambas igualmente incorrectas. Finalmente, en 1806 Argand publicó una prueba correcta para el teorema, enunciando el teorema fundamental del álgebra para polinomios con coeficientes complejos. Gauss produjo otro par de demostraciones en 1816 y 1849, siendo esta última otra versión de su demostración original.

El primer libro de texto que contiene la demostración de este teorema fue escrito por Cauchy. Se trata de Course d'anlyse de l'École Royale Polytechnique (1821). La prueba es la debida a Argand, sin embargo, en el texto no se le da crédito.

Ninguna de las pruebas mencionadas más arriba son constructivas. Es Weierstrass quien por primera vez, a mediados del siglo XIX, menciona el problema de encontrar una prueba constructiva del teorema fundamental del álgebra. En 1891 publica una demostración de este tipo. En 1940 Hellmuth Knesser consigue otra prueba de este estilo, que luego sería simplificada por su hijo Marin Kneser en 1981.

Enunciado y equivalencias

El teorema se enuncia comúnmente de la siguiente manera:

Es ampliamente conocido también el enunciado: Un polinomio en una variable, no constante y con coeficientes complejos, tiene tantas raíces⁴​ como indica su grado, contando las raíces con sus multiplicidades. En otras palabras, dado un polinomio complejo p(z) de grado n ≥ 1, la ecuación p(z) = 0 tiene exactamente n soluciones complejas, contando multiplicidades.

Otras formas equivalentes del teorema son:

• El cuerpo de los complejos es cerrado para las operaciones algebraicas.
• Todo polinomio complejo de grado n ≥ 1 se puede expresar como un producto de n polinomios lineales, es decir

${\displaystyle p(z)=\sum _{k=0}^{n}a_{k}\,z^{k}=a_{n}\,\prod _{i=1}^{n}(z-b_{i}).}$

Demostración

Sea ${\displaystyle p}$ un polinomio de grado ${\displaystyle n}$. ${\displaystyle p}$ es una función entera. Para cada constante positiva ${\displaystyle m}$, existe un número real positivo ${\displaystyle r}$ tal que

${\displaystyle |p(z)|>m,\quad {\mbox{si}}\quad |z|>r.}$

Si ${\displaystyle p}$ no tiene raíces, la función ${\displaystyle f=1/p}$, es una función entera con la propiedad de que para cualquier número real ${\displaystyle \epsilon }$ mayor que cero, existe un número positvo ${\displaystyle r}$ tal que

${\displaystyle |f(z)|<\epsilon ,\quad {\mbox{si}}\quad |z|>r.}$

Concluimos que la función ${\displaystyle f}$ es acotada. Pero el teorema de Liouville dice que si ${\displaystyle f}$ es una función entera y acotada, entonces, ${\displaystyle f}$ es constante y esto es una contradicción.

De manera que ${\displaystyle f}$ no es entera y por tanto ${\displaystyle p}$ tiene al menos una raíz. ${\displaystyle p}$ se puede escribir por tanto como el producto

${\displaystyle p(z)=(z-\alpha _{1})q(z),\,}$

donde ${\displaystyle \alpha _{1}}$ es una raíz de ${\displaystyle p}$ y ${\displaystyle q}$ es un polinomio de grado ${\displaystyle n-1}$. Por el argumento anterior, el polinomio ${\displaystyle q}$ a su vez tiene al menos una raíz y se lo puede factorizar nuevamente.

Repitiendo este proceso ${\displaystyle n-1}$ veces,⁵​ concluimos que el polinomio p puede escribirse como el producto

${\displaystyle p(z)=k\,(z-\alpha _{1})(z-\alpha _{2})\cdots (z-\alpha _{n})}$

donde ${\displaystyle \alpha _{1}}$ … ${\displaystyle \alpha _{n}}$ son las raíces de ${\displaystyle p}$ (no necesariamente distintas) y ${\displaystyle k}$ es una constante.

Corolarios

Como el teorema fundamental del álgebra puede ser visto como la declaración de que el cuerpo de los números complejos es algebraicamente cerrado, se sigue que cualquier teorema concerniente a cuerpos algebraicamente cerrados aplican al cuerpo de los números complejos. Se muestran aquí algunas consecuencias del teorema, acerca del cuerpo de los números reales o acerca de las relaciones entre el cuerpo de los reales y el cuerpo de los complejos:

• El cuerpo de los números complejos es la clausura algebraica del cuerpo de números reales.

• Todo polinomio mónico en una variable ${\displaystyle x}$ con coeficientes racionales es el producto de un binomio de la forma ${\displaystyle x+m}$ con ${\displaystyle m}$ racional, y de un trinomio de la forma ${\displaystyle x^{2}+bx+c}$ con ${\displaystyle b}$ y ${\displaystyle c}$ racionales y ${\displaystyle b^{2}-4c<0}$ (que es lo mismo que decir que el trinomio ${\displaystyle x^{2}+bx+c}$ no es resoluble en el conjunto de los números reales).⁶​

• Toda función racional en una variable ${\displaystyle x}$, con coeficientes reales, se puede escribir como la suma de una función polinómica con funciones racionales de la forma ${\displaystyle a/(x-b)^{n}}$(donde ${\displaystyle n}$ es un número natural, y ${\displaystyle a}$ y ${\displaystyle b}$ son números reales), y funciones racionales de la forma ${\displaystyle (ax+b)/(x^{2}+cx+d)^{n}}$ (donde ${\displaystyle n}$ es un número natural, y ${\displaystyle a}$, ${\displaystyle b}$, ${\displaystyle c}$, y ${\displaystyle d}$ son números reales tales que ${\displaystyle c^{2}-4d<0}$). Un corolario de esto es que toda función racional en una variable y coeficientes reales tiene una primitiva elemental.

• Toda extensión algebraica del cuerpo de los reales es isomorfa al cuerpo de los reales o al cuerpo de los complejos.